第4章 我怎么会没想到呢？

  “命题1.1：设 j:?^d→?是 m-强凸(m > 0)且 l-光滑(l <∞)的函数。考虑经典过阻尼 langevin扩散： dx_t =-?j(x_t)dt +σ db_t， x_0 = x?其中 b_t是標准 d-维 brownian运动……”

  这的確不是论文，没有標题、目录、没有引言跟导语，格式也跟规范不沾边，而且手机拍摄的手稿照片看起来也不太方便。

  但却让苏志坚看得无比认真，比看他正经学生提交的正经论文还认真。

  此刻，苏志坚的办公室里安静到落针可闻。

  直接看到第一个结论，苏志坚才抬头看了眼已经坐在他对面似乎在发呆的乔源。

  “……结合 b的全局 lipschitz性，sde有唯一强解，且由harris定理，存在唯一不变概率测度μ_σ。

  其密度由fokker-planck方程稳態解给出：0 =?·[?j(x)μ_σ(x)]+(σ2/2)Δμ_σ(x)直接验证μ_σ(x)= z^{-1} exp(-2j(x)/σ2)(z是归一化常数)是解。”

  创造性的漂移项性质，扩散项选取，以及lyapunov函数构造，利用j的强凸性和光滑性，解决了指数遍歷性问题。

  苏志坚稳了稳心神，收回目光，开始看向收敛性证明。

  这一块乔源利用的耦合方法跟泛函不等式。

  “令 z_t = x_t^x - x_t^y。则 dz_t =-[?j(x_t^x)-?j(x_t^y)]dt……”

  “呼……”

  看完第二部分后，苏志坚长出了口气。

  原因无他，接连两个部分，他粗看之下竟然没找出什么问题。

  虽然格式很糟糕，或者说看不出格式，但证明思路非常严谨。